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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3h

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(h) ∫ γ x 2 - y 2 d s ; γ : x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ x 2 - y 2 d s ao longo da curva x 2 + y 2 = 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos parametrizar a curva de integração a aplicar essa parametrização a nossa integral.

Ou seja, a ideia é obter uma integral de apenas uma variável e pra isso temos que parametrizar a curva x 2 + y 2 = 4 .

Nesse caso, γ é uma circunferência então a melhor forma de parametrizar o problema é a partir de coordenadas polares. Ou seja, fazendo x = cos ⁡ θ e y = sin ⁡ θ com o jacobiano J = r .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Como nossa região é uma circunferência de raio 2 e centrado na origem, θ vai variar de 0 a 2 π e r de 0 a 2 .

Aplicando essa parametrização na integral...

∫ γ x 2 - y 2 d s → ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ r d r d θ

Começando derivando com relação a r ...

∫ 0 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ r d r = cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ ∫ 0 2 r d r

∫ 0 2 r d r = r 2 2 0 2 = 2

Substituindo na integral

∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ d θ

2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ d θ = 2 1 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ - 1 2 θ - 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 2 π

2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ d θ = θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ - θ - 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 2 π

2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ d θ = sin ⁡ 2 θ 0 2 π

2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ d θ = 0

Logo, resultamos em

∫ γ x 2 - y 2 d s = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ γ x 2 - y 2 d s = 0

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