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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 12

12. Calcule ∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y ,onde γ é o gráfico de y = x 3 + 1 , de - 1,0 a 1,2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular a integral de linha ∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y em que γ é dada pela curva y = x 3 + 1 , de - 1,0 a 1,2 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para a solução desse problema, podemos usar o teorema de Green...

O teorema de Green é dado por

∫ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ C ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A  

Dessa forma podemos transformar nossa integral de linha em uma integral dupla, que é bem mais fácil de ser calculada...

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

Nesse caso, vemos que P = 6 x ² y e Q = x y .

O próximo passo é definir os limites de integração d A ...

C é definida pela curva y = x 3 + 1 entre - 1,0 e 1,2 .

Portanto podemos definir d x entre - 1 e 1 e d y entre 0 e x 3 + 1

Substituindo essas informações na integral, temos

∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 3 + 1 ∂ x y ∂ x - ∂ 6 x 2 y ∂ y d y d x

∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 3 + 1 y - 6 x 2 d y d x

Integrando com relação a y ...

∫ y - 6 x 2 d y = y 2 2 - 6 x 2 y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 x 3 + 1 y - 6 x 2 d y = x 3 + 1 2 2 - 6 x 2 x 3 + 1 - 0

∫ 0 x 3 + 1 y - 6 x 2 d y = x 6 + 2 x 2 + 1 2 - 6 x 5 - 6 x 2

∫ 0 x 3 + 1 y - 6 x 2 d y = x 6 2 + x 2 + 1 2 - 6 x 5 - 6 x 2

∫ 0 x 3 + 1 y - 6 x 2 d y = x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2

Agora integramos o resultado em relação a x ...

∫ x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2 d x = x 7 14 - x 6 - 5 x 3 3 + x 2

Aplicando os limites de integração...

∫ - 1 1 x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2 d x = 1 7 14 - 1 6 - 5 1 3 3 + 1 2 - - 1 7 14 - - 1 6 - 5 - 1 3 3 + - 1 2

∫ - 1 1 x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2 d x = 1 14 - 1 - 5 3 + 1 2 - - 1 14 - 1 + 5 3 - 1 2

∫ - 1 1 x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2 d x = 1 14 - 1 - 5 3 + 1 2 + 1 14 + 1 - 5 3 + 1 2

∫ - 1 1 x 6 2 - 6 x 5 - 5 x 2 + 1 2 d x = - 46 21

Portanto, temos

∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y = - 46 21

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ γ 6 x 2 y d x + x y d y = - 46 21

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