Use o Teorema de Green para calcular ∫ C F d r onde F x , y = y - cos ⁡ y i + x s e n y j onde C é o círculo x - 3 2 + y + 4 2 = 4 orientado no sentido anti-horário

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para usarmos o Teorema de Green, vamos usar a seguinte relação:

∫ C F d r   = ∬ C d F 2 d x - d F 1 d y d x d y

E no caso, C vai ser nossa curva delimitando a função. A nossa curva vai ser justamente a região interna do nosso círculo:

x - 3 2 + y + 4 2 = 4

E por meio dessa região, vamos achar as funções para calcular nossa integral.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas da nossa primeira fórmula:

F x , y = y - cos ⁡ y i + x s e n y j

Vamos dizer que:

F 1 = y - cos ⁡ y

F 2 = x s e n y

Show, agora vamos derivar:

d F 2 d x = s e n ( y )

d F 1 d y = 1 + s e n ( y )

Substituindo:

∮ C F d r = ∬ C s e n y - 1 - s e n ( y ) d x d y

∮ C F d r = - ∬ C d x d y

Show, agora precisamos saber os intervalos de integração.

Passo 3

Ok, vamos pegar aqui a nossa região limitada:

C :   x - 3 2 + y + 4 2 = 4

Como a nossa região integrada é um círculo, o ideal seria utilizar coordenadas polares, mas temos uma grande vantagem aqui:

∬ D d x d y = Á r e a   d e   D

Como temos um círculo, fica mais simples. Vamos calcular:

Á r e a = π R ²

Á r e a = π 2 2 = 4 π

Calculando a nossa integral:

∮ C F d r = - ∬ C d x d y = - 4 π

Resposta

- 4 π

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