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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Como x 2 + y 2 é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2 . Como temos x ≥ 0 e y ≥ 0 , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por 4 segmentos, cada um com uma parametrização. Isso ia gerar muito trabalho. Isso é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Passo 2

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

F = x 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 4

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 2 + y 4 = x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - y 2 2 = - y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = x - - y = x + y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∬ D   x + y d x d y

Note que a curva está orientada positivamente!

Passo 4

Como a região D está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 , o que equivale a 1 / 4 de circunferência. Os valores de r variam entre os dois arcos, logo 1 ≤ r ≤ 2 . Temos, então:

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ + r   sen ⁡ θ ) r   d r d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 2   d r d θ =

Passo 5

Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a r temos:

= ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 3 3 r = 1 r = 2 d θ =

= 7 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ =

Passo 6

Integramos, então, em relação a θ :

= 7 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π / 2 =

= 7 3 1 - 0 - 0 - 1 =

Resposta

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