Teorema de Green
Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana do primeiro quadrante delimitada por e .
Passo 1
Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos a reta (em vermelho) e a reta , que tem inclinação menor que a primeira (em azul). Temos também a curva (em verde):
A região é essa aí em cinza.
Passo 2
Certo, agora queremos a área disso aí. Bom, falando em área nós pensamos logo em integral dupla, né?
E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:
Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região é igual a essa integral dupla sobre . Sendo , é claro, orientada no sentido anti-horário (positivo).
Mas temos um problema, aquela integral dupla que apareceu no teorema não é igual à área, que queremos.
Na verdade, ela pode ser igual se:
Então, tudo o que precisamos é de um campo que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:
Nesse caso
Show! Agora podemos aplicar Green:
Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de (que inventamos) em . Mas tem partes, não é? Vamos precisar calcular integrais de linha.
Vamos chamar de o segmento vermelho, de o azul e o verde. Isso nos dá:
Passo 3
Vamos, agora, parametrizar esses segmentos.
pertence à reta , portanto;
Como vemos pelo desenho, vai de a (lembre-se de que o sentido é anti-horário).
pertence à reta , logo:
Com variando de a .
Já pertence a , o que nos dá:
Com variando de a .
Passo 4
Agora vamos derivar essas parametrizações:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula:
Onde
Para :
Para :
Para :
Levando o que temos paras as integrais:
Passo 6
Agora é só resolver isso aí
=
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)