Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
Onde é a região interior à elipse .
Passo 1
Show nessa questão precisamos verificar o Teorema de Green. O que ele diz? Se tivermos:
- Curva Fechada
- Curva Positivamente Orientada
- Campo bem definido dentro da curva
Então, podemos dizer que
Temos então que garantir as condições do teorema e depois fazer essas duas integrais e ver se o resultado é o mesmo
Passo 2
Legal, como a curva é uma elipse, temos uma curva fechada. Vamos colocar o sentido de giro anti-horário. Assim, temos que a curva fica positivamente orientada.
Por fim, o campo está bem definido em todo o plano (não tem nenhuma divisão por zero, raiz negativa ou coisas do gênero). Então está bem definido dentro da curva.
Dito isso, as condições estão satisfeitas. Bora calcular as duas integrais!
Passo 3
Primeiro vamos calcular a integral de linha sobre a elipse. Para isso, precisamos parametrizar a elipse. Vamos usar a seguinte parametrização
Logo, a derivada da parametrização fica
Colocando a parametrização dentro do campo temos
Vamos montar agora a nossa integral! Fica esperto com os limites de integração. Como o giro é anti-horário, temos que
Para essa última integral, vamos usar . Então, temos
Passo 4
Agora vamos para a integral dupla. Vamos calcular o integrando:
Por se tratar de uma elipse, vamos empregar as coordenadas polares como se segue
O jacobiano será dado por
Substituindo na equação da elipse, vamos ter
Logo, e . A variação do ângulo sai do fato que temos partes da elipse nos 4 quadrantes! Show, partiu montar a integral
Fazendo a integração em , temos
Como ambos os resultados deram iguais, o teorema se verifica!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)