Considere o campo vetorial F x , y = 5 - x y - y 2 , x 2 - 2 x y em R 2 .

Calcule

∮ C   F . d r

Onde C é o quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) , ( 0,1 ) , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bem, como a região limitada por C é um quadrado (bem simples de se escrever em integral duplas), vamos tentar aplicar Green para ver no que dá:

∂ F 2 ∂ x = 2 x - 2 y

∂ F 1 ∂ y = - x - 2 y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 2 y - - x - 2 y = 3 x

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa curva C . Temos isso aqui:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro dela, podemos escrever o seguinte:

∮ C   F . d r = ∬ R   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Ou seja:

∮ C   F . d r = 3 ∬ R   x d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R na integral dupla, o que é bem tranquilo, porque se trata de um quadrado:

∮ C   F . d r = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d y

Resolvendo isso aí:

= 3 ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d y =

= 3 2 ∫ 0 1 d y =

= 3 2

Resposta

3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem