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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 4 – Questão 10

(Cap.16.4 - Exercício 10) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta,

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo e mudanças de variável.

Passo 2

Temos que a região D é fechada e delimitada pelos dois círculos, porém é mais fácil calcularmos se usarmos uma transformação de variável. Vamos chamar x = ρ ⋅ c o s θ e y = ρ ⋅ s i n θ . Assim, temos que ρ variará da seguinte forma:

2 ≤ ρ ≤ 3

E θ será de uma volta completa, logo 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Vamos precisar do Jacobiano também. Como já mostrado anteriormente no livro, temos que o Jacobiano para coordenadas polares é J = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo então na integral e usando o teorema de Green, teremos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ⋅ d A

∫ ∫ D ∂ ∂ x x 3 + e y 2 − ∂ ∂ y 1 − y 3 ⋅ d A = ∫ ∫ D 3 ⋅ x 2 + 3 ⋅ y 2 ⋅ d A

∫ ∫ D 3 ⋅ ρ ⋅ c o s θ 2 + 3 ⋅ ρ ⋅ s i n θ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 2 3 3 ⋅ ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ

∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 2 3 3 ⋅ ρ 3 ⋅ d ρ = θ 0 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ ρ 4 4 2 3 = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 3 4 4 − 2 4 4 = 195 2 ⋅ π

Bora resolver mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

∫ C 1 − y 3 ⋅ d x + x 3 + e y 2 ⋅ d y = 195 2 ⋅ π

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