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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3i

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(i) ∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y ; ao longo do semicírculo x = 1 - y 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y ao longo do semicírculo x = 1 - y 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando o semicírculo x = 1 - y 2 , temos

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = y 2 e Q = x 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x 2 ∂ x = 2 x

∂ P ∂ y = ∂ y 2 ∂ y = 2 y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = ∫ ∫ 2 x - 2 y d A

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2 ∫ ∫ x - y d A

A partir região de integração, podemos imaginar que para integrar a área da região, temos que aplicar uma parametrização por coordenadas polares.

Ou seja, fazendo x = cos ⁡ θ e y = sin ⁡ θ com o jacobiano J = r vamos determinar os limites de integração em função de θ e r .

No caso, θ varia de - π / 2 a π / 2 e r de 0 a 1 , pelo que vemos na imagem da região

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2 ∫ 0 1 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ r d θ d r

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2 ∫ 0 1 r ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ d r

Integrando com relação a θ

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - π 2 π 2

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ = sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 - sin ⁡ - π 2 + cos ⁡ - π 2

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ = 1 + 0 - - 1 + 0 = 2

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Substituindo o resultado da integral anterior na integral de r , temos

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2 ∫ 0 1 2 r d r

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 4 ∫ 0 1 r d r

Integrando em relação a r

∫ 0 1 r d r = r 2 2 0 1 = 1 2

Substituindo na integral do problema...

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 4 1 2

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 , - 1 0,1 y 2 d x + x ² d y = 2

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