Seja um campo de força sobre uma partícula. A partícula inicialmente no ponto (-2,0) se move ao longo do eixo x até (2,0) e então ao longo da semicircunferência até o ponto inicial.
- Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força
- A integral
é independendo do caminho? Justfique.
Passo 1
- Bom, vamos começar observando para podermos aplicar Green temos que conferir se nossa região está orientada posotivamente e fechada.
- Bom, pra fechar ele nos pergunta se a integral independe do caminho. A resposta pra essa pergunta seria NÃO. Se fosse independente, uma vez que ele sai e volta pra um mesmo ponto, seu trabalho seria NULO, e isso não é oque acontece, como já vimos na letra (a).
Tudo ok com nossa região então.
Passo 2
Aplicando Green temos que
A região D pode ser descita com x variando entre -2 e 2, e y variando entra 0 e
Como estamos trabalhando com uma semi circunferência, facilita nossa vida as coordenadas polares. Então bora lá.
Onde
Passo 3
Agora precisamos encontrar as derivadas do campo!
Colocando isso em coordenadas polares também, ficamos com:
Passo 4
Montando a integral agora, ficamos com (sem esquecer o Jacobiano):
Passo 5
Resposta
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