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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3k

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(k) ∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y ;     γ : x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y ao longo da curva x 2 + y 2 = 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando a circunferência x 2 + y 2 = 4 , temos

A partir dessa região, podemos calcular sua área como a área de um círculo

A = π r 2

No caso, r = 2 , logo

A = π 2 2

A = 4 π

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = a x + b y e Q = α x + β y .

∂ Q ∂ x = ∂ a x + b y ∂ x = a

∂ P ∂ y = ∂ α x + β y ∂ y = β

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y = ∫ ∫ a - β d A

∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y = a - β ∫ ∫ d A

A integral da derivada da área é a própria área, não é?

∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y = a - β A

∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y = 4 π a - β

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ γ a x + b y d x + α x + β y d y = 4 π a - β

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