UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 2b
Questão 2. Use o Teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.
(b) , é o círculo com orientação positiva;
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nesse problema queremos aplicar o teorema de Green para calcular a integral da função em , onde está é a região definida pelo círculo .
E aí, lembra como fazemos isso? 😁
Fazendo onde é uma função genérica dada por , temor
O teorema de Green é dado por
Onde é a área da curva fechada.
Sacou? Bora lá! 😉
Passo 2
No nosso caso, e ...
Derivando em relação a e em relação a , vamos obter
Aplicando o teorema de Green, temos
Como possui simetria polar, nada mais justo que convertermos nossas coordenadas para polares.
Nesse caso, a região é dada pela equação , ou seja, uma circunferência de raio , logo, os limites de integração serão em de a e em de a .
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Como , , e .
Fazendo a conversão do nosso problema, temos
Integrando em ...
Substituindo o resultado no teorema
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
