Calcule a integral

∫ C 2 y 2 + cos ⁡ x 3   d x +   5 x y + e y   d y

Sendo a curva C a fronteira orientada positivamente da região semianular R contida no semiplano superior entre as circunferências x 2 + y 2 = 4   e   x 2 + y 2 = 16 .

Passo 1

Eu gosto de começar sempre visualizando nossa região.

Passo 2

Bom, bora lá, o enunciado já nos da essa ajudada falando que nossa fronteira é orientada positivamente, o que já nos indica que a gente pode usar o Teorema de Green. Como nossa região se trata do intervalo entre duas circunferências, podemos adiantar também que vamos usar coordenadas polares!

0 ≤ θ ≤ π

2 ≤ r ≤ 4

Passo 3

Usando o Teorema de Green temos

∫ C 2 y 2 + cos ⁡ x 3   d x +   5 x y + e y   d y =

∬ R ∂ ∂ x 5 x y + e y - ∂ ∂ y 2 y 2 + c o s   x 3 d A =

∬ R y   d A =  

Agora fazemos as coordenadas polares onde x = r c o s θ , y = r s e n θ   e   J = r .

∫ 0 π ∫ 2 4 r   s e n θ   r   d r   d θ =

∫ 0 π r 3 3 2 4 s e n θ d θ =

- c o s θ 0 π r 3 3 2 4 =  

= 112 3

Resposta

112 3

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