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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3l

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(l) ∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x ;     γ : 9 x 2 + 4 y 2 = 36 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x ao longo da curva 9 x 2 + 4 y 2 = 36 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando a curva 9 x 2 + 4 y 2 = 36 , temos que antes fazer algumas simplificações...

Dividindo tudo por 36

9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 36 36

x 2 4 + y 2 9 = 1

Dessa forma vemos que a curva é uma elipse dada por

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = x y 2 y = 2 x y 2 e Q = x y 7 x = 7 x 2 y .

∂ Q ∂ x = ∂ 7 x 2 y ∂ x = 14 x y

∂ P ∂ y = ∂ 2 x y 2 ∂ y = 4 x y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = ∫ ∫ 14 x y - 4 x y d A

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = ∫ ��� 1 0 x y d A

Para calcular a integral de d A , temos que converter nossas coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas...

Para fazer essa conversão, fazemos x = a r cos ⁡ θ e y = b r sin ⁡ θ com o jacobiano sendo J = a b r .

No caso, pela equação da elipse, tiramos que a = 2 e b = 3 , ou seja

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = ∫ ∫ 10 2 r cos ⁡ θ 3 r sin ⁡ θ 2 · 3 r d A

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = ∫ ∫ 360 r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d A

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 360 ∫ ∫ r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d A

Como a elipse está centrada na origem, fazemos os limites de integração de r entre 0 e 1 e de θ entre 0 e 2 π .

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 360 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d r d θ

Integrando com relação a r ...

∫ r 3 d r = r 4 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 r 3 d r = 1 4

Substituindo na integra do problema...

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 360 4 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Pelo teorema fundamental do cálculo.

∫ cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = sin 2 ⁡ θ 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = sin 2 ⁡ 2 π 2 - sin 2 ⁡ 0 2 = 0

Logo, nossa integral resulta em

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 360 4 · 0

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 0

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ γ x y 2 y d x + 7 x d x = 0

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