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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Teorema de Green

Calcule a integral de linha

∮ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

Em que C é a curva fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 com orientação positiva

Passo 1

Bem a primeira coisa que conseguimos perceber é que ele quer essa integral de linha vetorial que está ali.

Olha as funções que estão nessa integral

F 1 = y + e x

F 2 = 2 x + cos ⁡ y 2

Repara que essas funções são estranhas né? Aquela raiz no exponencial, o cosseno de y 2 . A região que ele pediu não é muito complexa, são duas parábolas de boa, mas essas funções F 1 e F 2 são deveras estranhas. Então vamos tentar aplicar o teorema de Green para facilitar nossas contas, pode ser que não ajude e tenhamos que voltar para a conta normal na marra, mas vamos tentar primeiro né? Para isso devemos calcular

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então

∂ F 2 ∂ x = 2

∂ F 1 ∂ y = 1

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 - 1 = 1

Opa, deu um número, e além disso ele disse que a orientação é positiva, ou seja, vamos aplicar Green nesse, lembra como ele é?

∫ C F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d S

Onde D é a região que tem fronteira C , no nosso caso vamos ter

∮ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y = ∬ D 1 d S

Transformamos essa integral de linha louca em uma integral dupla tranquilinha.

Passo 2

Vamos agora resolver

∬ D 1 d S

Mas primeiro temos que entender como é essa região D , vamos fazer um esboço das duas parábolas.

Como vamos garantir esse pontos onde elas se encontram? Vamos resolver o sistema eu

x = y 2

y = x 2

Substituindo o valor de y da equação de baixo na de cima vamos ter

x = x 2 2

x = x 4

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Então

x = 0         o u         x 3 = 1

x = 0         o u         x = 1

Além disso vamos ter

x = 0 → y = x 2 = 0 2 = 0

x = 1 → y = x 2 = 1 2 = 1

Os pontos são 0,0 e 1,1

E achamos os pontos direitinho.

Essa região pode ser vista tanto como Tipo I como Tipo II, na realidade não faz diferença nenhuma qual escolhermos as contas vão ficar praticamente idênticas. Eu vou fazer por Tipo I, simplesmente porque I vem antes do II rs, faz sentido? Nenhum né? Mas como não faz diferença n importa.

Repara que y vai da parábola de baixo até a parábola de cima, enquanto o x vai de 0 à 1 .

Vamos escrever y em função de x nas duas parábolas, começando com a de cima, ele disse que

x = y 2

Então

y = ± x

Pegamos a parte positiva dessa parada porque como podemos ver queremos a parte no primeiro quadrante do plano cartesiano, onde y ≥ 0 e x ≥ 0

Então

y = x

A parábola de baixo vai ficar

y = x 2

E já está bonitinho.

A região D vai ser

D = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 1 ; x 2 ≤ y ≤ x

Passo 3

Vamos agora para integral, ela vai ficar

∬ D 1 d S = ∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x

Então vamos ter

∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x =

∫ 0 1 y x 2 x d x =

∫ 0 1 x - x 2 d x =

∫ 0 1 x 1 / 2 - x 2 d x =

x 3 / 2 3 / 2 - x 3 3 0 1 =

2 x 3 / 2 3 - x 3 3 0 1 =

2 3 - 1 3 - 0 - 0 =

1 3

Resposta

1 3

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