USP-SEM CAMPUS- Calculo 3 – prova 2 – 2022.1
Seja a região do plano que é interior da região e o exterior da região . Se a denota a o bordo de , orientado positivamente, , podemos afirmar que:
Passo 1
Opa amigão, aqui é o Rodolpho do Responde Aí e vim te ajudar a fazer essa questão, e aí vamos lá?
Para resolver essa questão, precisamos primeiramente verificar se o campo é simplesmente conexo, pois as questões pedem.
Segundamente para o cálculo de A podemos utilizar o teorema de Green, pois as curvas são fechadas e a expressão da integral de linha não parece muito amigável.
Ok? Então bora lá.
Passo 2
Primeiramente vamos fazer a análise para verificar se o campo é simplesmente conexo, para isso vamos analisar o integrando de .
Como podemos ver, o campo não possui nenhum ponto de singularidade, portanto ele pode ser dito como simplesmente conexo. Pois, podemos ligar dois pontos quaisquer por uma reta.
Passo 3
Para a resolução da integral vamos utilizar o teorema de green, pois a integral fica mais simples.
Primeiramente vamos calcular o rotacional e para esse cálculo vamos precisar do determinante da seguinte matriz:
Como temos uma coluna de zeros, vamos utilizar a regrinha de Laplace. E assim obtemos o seguinte vetor rotacional:
Nós temos que nossa região de integração está entre os seguintes planos:
O teorema de green afirma que:
Aplicando no nosso probleminha e transformando em coordenadas polares temos que:
Logo, temos que nossa integral se torna:
Resultando a seguinte integral:
Logo temos que:
Resposta
A resposta correta é a letra c).