UFRJ, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 4
Calcule a integral onde e é a curva parametrizada por , com .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha , sabendo que é uma função vetorial dada e é a curva parametrizada por , com .
A primeira vista, a gente poderia pensar em calcular essa integral usando a definição de integral de linha:
Só que calcular com a nossa função iria gerar um troço muito complicado de resolver. Então, como a gente pode solucionar esse problema?
Bom, existe um Teorema Fundamental das integrai de linha, que nos diz que podemos avaliar a integral de linha de um campo conservativo (o campo vetorial gradiente da função potencial) simplesmente sabendo o valor de nos pontos finais de . Matematicamente, ele quer dizer isso aqui:
Então, o que nós precisamos fazer é verificar se o nosso campo vetorial �� conservativo (se o rotacional dele for nulo, já podemos dizer que é conservativo). Em seguida, vamos determinar uma função cujo o gradiente seja igual a nossa função . Quere dizer, vamos determinar uma função tal que , e . Pra a partir daí, calcular usando os pontos finais de na parametrização que ele nos deu ().
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar verificando se o campo vetorial é conservativo. Fazemos isso calculando o rotacional da função e verificando se ele é nulo.
Assim, temos:
No nosso caso, , e . Calculando as derivadas parciais dessas componentes conforme a fómula do rotacional, temos:
Subtraindo os termos:
Portanto, o campo vetorial é conservativo.
Passo 3
Agora vamos determinar uma função tal que , isso quer dizer que:
Integrando a primeira equação em relação a , temos:
Então, a função vai ser dada por:
Onde é uma constante em relação a , que a gente adiciona pra “compensar” o fato de estarmos integrando a função de três variáveis apenas em relação a .
Agora vamos derivar essa expressão que encontramos para em relação a :
Comparando com a derivada parcial em relação a que nós definimos no início do passo (), temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Se a derivada da função em relação a é igual a zero, então ela é uma função apenas de (porque é constante em realação a ). Então, vamos ter:
Passo 4
Então já podemos reescrever como:
Vamos agora derivar essa função em relação a e comparar com , pra ver se conseguimos encontrar quem é .
Derivando em relação , temos:
Comparando com a derivada parcial de em relação a que nós definimos antes, temos:
Aí a gente pode cortar os termos semelhantes e temos:
Integrando em relação a pra descobrir quem é :
Onde é uma constante de integração. Se nós tomarmos , podemos reescrever assim:
Então, encontramos nossa função, que atende o requisito .
Passo 5
Agora só falta a gente aplicar a função no Teorema fundamental para integrais de linha:
Como o enunciado nos deu uma parametrização com ponto inicial e ponto final , vamos aplicar a função encontrada nesses pontos (que correspondem aos pontos finais da curva , sobre a qual estamos integrando).
Assim, temos:
Agora, para obter o valor da integral, aplicamos esses pontos na função :
E
Finalmente, aplicando na integral:
E, portanto, .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉