(Cap.16.4 - Exercício 1) Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮C (x - y) dx + (x + y) dy

C é o círculo com centro na origem e raio 2

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta, primeiro devemos calcular nossa integral de linha diretamente, ou seja, como aprendemos inicialmente fazendo a parametrização e depois calculando a integral ∫ a b F r t ⋅ r ' t d t . Em seguida devemos utilizar o Teorema de Green visto na seção 4 do livro.

Passo 2

(a) Podemos parametrizar C por :

r t = 2 c o s t , 2 s e n t , 0 ≤ t ≤ 2 π

Derivando a parametrização

r ' t = − 2 s e n t , 2 c o s t

E podemos calcular a integral:

∮ C x − y d x + x + y d y = ∫ 0 2 π 2 c o s t − 2 s e n t , 2 c o s t + 2 s e n t ⋅ − 2 s e n t , 2 c o s t d t

∫ 0 2 π − 2 2 s e n t c o s t + 2 2 s e n 2 t + 2 2 c o s 2 t + 2 2 s e n t c o s t d t

4 ∫ 0 2 π s e n 2 t + c o s 2 t d t = 4 ∫ 0 2 π d t = 8 π

Passo 3

(b) Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x − y d x + x + y d y = ∬ D ∂ ∂ x x + y − ∂ ∂ y x − y d A

∬ D 1 − − 1 d A = ∬ D 2 d A

Sabemos que ∬ D d A = A D então

2 ∬ D d A = 2 A D

A área da circunferência é dada por π r 2 :

2 π 2 2 = 8 π

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

Resolução nos passos acima

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