Calcule a integral de linha ∮ C x y d x + x ² d y , C é o retângulo com vértices (0, 0) , (3, 0) , (3, 1) e (0, 1) por dois métodos:

b) utilizando o Teorema de Green;

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada, dada por um retângulo, através do Teorema de Green. Primeiro, vamos relembrar o que o teorema de Green nos afirma:

Se temos uma região R do plano cartesiano, delimitada por uma curva ∂ R , temos que a integral de linha de um campo vetorial F ( x , y ) = ( P ( x , y ) ,   Q ( x , y ) ) sobre a curva fechada ∂ R está relacionada com uma integral sobre a superfície R através de

∮ ∂ R P d x + Q d y = ∫ ∫ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Então, com a integral dada pelo enunciado, podemos definir um campo vetorial F tal que suas componentes são

F ( x , y ) = ( x y ,   x ² )

Assim, para calcularmos a integral de linha nas arestas do retângulo definido, só precisamos calcular as derivadas parciais do campo vetorial acima e integrar sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 1 . Então bora calcular as derivadas parciais!

Passo 2

Como no teorema de Green precisamos calcular a derivada em relação à y da componente x do campo vetorial, precisamos derivar xy em relação à y:

∂ F x ∂ y = ∂ ∂ y ( x y ) = x

Igualmente, precisamos calcular a derivada da componente F y em relação à x:

∂ F y ∂ x = ∂ ∂ x ( x ² ) = 2 x

Agora, só precisamos escrever a integral. Fazendo isso, obtemos:

∮ C x y d x + x ² d y = ∫ 0 1 ∫ 0 3 2 x - x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 3 x   d x   d y = 3 ² 2 - 0 ² 2 ∫ 0 1 d y = ( 1 - 0 ) 9 2 = 9 2

Resposta

∮ C x   y   d x + x ² d y = 9 2

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