UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 9b
Calcule a integral de linha , C é o retângulo com vértices (0, 0) , (3, 0) , (3, 1) e (0, 1) por dois métodos:
b) utilizando o Teorema de Green;
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada, dada por um retângulo, através do Teorema de Green. Primeiro, vamos relembrar o que o teorema de Green nos afirma:
Se temos uma região R do plano cartesiano, delimitada por uma curva , temos que a integral de linha de um campo vetorial sobre a curva fechada está relacionada com uma integral sobre a superfície R através de
Então, com a integral dada pelo enunciado, podemos definir um campo vetorial F tal que suas componentes são
Assim, para calcularmos a integral de linha nas arestas do retângulo definido, só precisamos calcular as derivadas parciais do campo vetorial acima e integrar sobre o retângulo , Então bora calcular as derivadas parciais!
Passo 2
Como no teorema de Green precisamos calcular a derivada em relação à y da componente x do campo vetorial, precisamos derivar xy em relação à y:
Igualmente, precisamos calcular a derivada da componente em relação à x:
Agora, só precisamos escrever a integral. Fazendo isso, obtemos: