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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.6b

Considere P x ,   y = - y x 2 + y 2 - 1 e Q x ,   y = x x 2 + y 2 - 1 , definidas para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) e seja D a região descrita por 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R . Mostre que:

(b) ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a integral dupla, ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y é igual a 0 , sabendo que D é a região descrita por 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R .

Então, vamos calcular as derivadas parciais de P e Q para verificar como fica nosso integral e se seu valor é nulo.

Vamos lá!

Passo 2

Sabend que P x ,   y = - y x 2 + y 2 , calculando sua derivada parcial em relação a y , vamos ter:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2

Usando a regra do quociente e considerando x constante nesse caso:

∂ P ∂ y = - 1 x 2 + y 2 - 2 y ( y ) x 2 + y 2 2

Aplicando a distributiva e simplificando:

∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Da mesma forma, para Q x ,   y = x x 2 + y 2 vamos calcular sua derivada parcial em relação a x :

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2

Usando a regra do quociente e considerando y constante nesse caso:

∂ Q ∂ x = 1 x 2 + y 2 - 2 x ( x ) x 2 + y 2 2

Aplicando a distributiva e simplificando:

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

∂ Q ∂ x = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Passo 4

Agora repare que o resultado obtido no passo 2 e no passo 3 são iguais e na hora de montar nossa integral, vamos ter:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y = ∬ D - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 d x d y

∬ D 0 d x d y = 0

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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