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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 4 – Questão 4

(Cap.16.4 - Exercício 4) Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta, primeiro devemos calcular nossa integral de linha diretamente, ou seja, como aprendemos inicialmente fazendo a parametrização e depois calculando a integral ∫ a b F r t ⋅ r ' t d t . Em seguida devemos utilizar o Teorema de Green visto na seção 4 do livro.

Para resolvermos esse exercício, vamos dividir as curvas C em 3 partes e parametrizar cada uma delas.

Passo 2

Inicialmente, vamos dividir a curva C em 3 partes, ficando com C 1 , C 2 e C 3 . Temos que uma propriedade das integrais de linha é

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ C 1 F → ⋅ d r → + ∫ C 2 F → ⋅ d r → + ∫ C 3 F → ⋅ d r →

Assim, precisamos apenas parametrizar as curvas e calcular as integrais separadamente. Temos que a primeira curva, C 1 , podemos chamar x = t e y = t 2 , com um intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Precisamos de d x e d y também. Derivando, chegamos que d x = d t e d y = 2 ⋅ t

C 2 podemos será a reta que vai de 1,1 a 0,1 . Temos que y é constante em 1 e apenas x varia. Podemos fazer então que y = 1 e x , por se tratar de uma reta que vai de 1 até 0, será x = 1 − t , onde 0 ≤ t ≤ 1 e com d x = − d t e d y = 0

Para C 3 será algo parecido a C 2 por se tratar também de uma reta com uma das componentes constantes. Assim, temos que x = 0 e y = 1 − t , onde 0 ≤ t ≤ 1 e com d x = 0 e d y = − d t

Substituindo na integral agora, temos que:

∫ C x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y = ∫ C 1 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y + ∫ C 2 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y +

+ ∫ C 3 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y

Calculando em C 1 primeiro, temos que

∫ C 1 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y = ∫ 0 1 t 6 ⋅ d t + t 3 ⋅ 2 ⋅ t ⋅ d t = t 7 7 + 2 ⋅ t 5 5 0 1 = 1 7 + 2 5

C 2 Será:

∫ C 2 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y = ∫ 0 1 1 − t 2 ⋅ 1 ⋅ − d t + 1 − t ⋅ 0 = − t + t 3 3 − 2 ⋅ t 2 2 0 1 =

− 1 − 1 3 + 1 = − 1 3

Para C 3

∫ C 3 x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y = ∫ 0 1 0 ⋅ d t + 0 ⋅ d t = 0

Somando então, temos que nossa integral resulta em

1 7 + 2 5 − 1 3 = 22 105

Passo 3

Utilizando agora o teorema de Green, temos que:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ⋅ d A

Calculando então a integral dupla, temos que

∫ ∫ D ∂ ∂ x x ⋅ y − ∂ ∂ y x 2 ⋅ y 2 ⋅ d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 y − 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ d x ⋅ d y

∫ 0 1 y 2 2 − x 2 ⋅ y 2 x 2 1 ⋅ d x = ∫ 0 1 1 2 − x 4 2 − x 2 + x 6 ⋅ d x = 1 2 ⋅ x − x 5 10 − x 3 3 + x 7 7 0 1

1 2 − 1 10 − 1 3 + 1 7 = 22 105

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

∫ C x 2 ⋅ y 2 ⋅ d x + x ⋅ y ⋅ d y = 22 105

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