Seja a integral de linha , onde
e é a fronteira do conjunto percorrida no sentido horário.
O valor de é:
Escolha uma:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Cara, esse campo é muito feio e a região limitada por já está definidinha como extremos de integração. Então vamos ver se é uma boa usar o Teorema de Green. Para testar isso, vamos calcular o rotacional desse campo
Nosso campo é
Aí o rotacional fica
Nossa, ficou super simples, né? Então, bora de Green!
Passo 2
O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de em uma curva por essa relação:
Onde é uma região e é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.
Primeira condição: A nossa região precisa ser fechada. Como ele já chama de fronteira, a gente pode supor que nossa região é fechada.
Segunda condição: A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? Se ela for uma região sem buracos como a nossa, a gente precisa que ela esteja no sentido anti-horário.
Mas está no sentido horário. Aí o que a gente faz? Desiste?! Não!
A gente pode lembrar que
Então, a gente só precisa mudar o sinal da integral de linha em . Aí fica tranquilo!
Aí, podemos reescrever o lado esquerdo do teorema assim
Terceira condição: e suas derivadas não podem ter descontinuidades dentro da nossa região.
Percebe que ele só tem descontinuidade em , e esse ponto não está dentro da nossa região porque ela começa em .
Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!
Passo 3
Substituindo nele as coisas que a gente tem:
Vimos que :
Aí a gente viu que já está definido como extremos de integração
Nossa integral fica
Repara que integramos primeiro em relação a , porque ele está entre funções de .
A ideia é calcular o valor da integral de linha sobre calculando essa integral dupla da direita.
Passo 4
Bora calcular
Resposta
Letra d