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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3m

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(m) ∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y ;     γ consiste dos arcos y = x 2 e y = x , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y entre as curvas y = x 2 e y = x com 0 ≤ x ≤ 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando as curvas y = x 2 e y = x , temos...

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = x y e Q = y 2 - x 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x y ∂ x = y

∂ P ∂ y = ∂ y 2 - x 2 ∂ y = 2 y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y = ∫ ∫ y - 2 y d A

∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y = ∫ ∫ - y d A

Podemos definir a integral de d A como x variando de 0 a 1 e y variando de x 2 a x .

∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y = - ∫ 0 1 ∫ x 2 x y d y d x

Integrando com relação a y

∫ y d y = y 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ x 2 x y d y = x 2 2 - x 2 2 2 = x 2 - x 4 2

Integrando o resultado em função de x

∫ x 2 - x 4 2 d x = x 2 4 - x 5 10

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 x 2 - x 4 2 d x = 1 4 - 1 10 = 3 20

Substituindo no teorema...

∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y = - 3 20

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ γ x y d x + y 2 - x 2 d y = - 3 20

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