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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 4 – Questão 5

(Capítulo 16.4 – Exercício 5) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x y 2 d x + 2 x 2 y d y ,

C é o triângulo de vértices 0,0 , 2,2 e 2,4 .

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom, para resolvermos esse exercício, vamos dividir as curvas C em 3 partes e parametrizar cada uma delas.

Vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Ficará mais simples calcular essa integral pelo teorema de Green se fixarmos x e variarmos o y .

Usamos o teorema de Green quando temos uma curva plana simples, fechada e contínua por partes.

Assim, temos que nosso intervalo para x será 0 ≤ x ≤ 2 e em y será x ≤ y ≤ 2 ⋅ x , pois ambas retas limitam o intervalo de y . Assim, como a curva é fechada, podemos aplicar o teorema de Green, ficando com:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ ∫ D ∂ ∂ x 2 x 2 y - ∂ ∂ y x y 2 d A = ∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 4 x y - 2 x y d y d x

∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 2 x y d y d x = ∫ 0 2 2 x y 2 2 x 2 ⋅ x = ∫ 0 2 x 4 x 2 - x 2 d x

3 x 4 4 0 2 = 3 4 ⋅ 2 4 - 0 3 = 16 ⋅ 3 4 = 12

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

∫ C x y 2 d x + 2 x 2 y d y = 12

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