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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.6

6. Calcule ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 ; onde γ consiste no arco da parábola y = x 2 - 1 , - 1 ≤ x ≤ 2 ; seguido do segmento de reta que une os pontos 2 , 3 e - 1,0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 em que γ é a região entre a curva y = x 2 - 1 e a reta que liga os pontos 2 , 3 e - 1,0 em que - 1 ≤ x ≤ 2

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = x x 2 + y 2 e Q = y x 2 + y 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ y x 2 + y 2 ∂ x = - 2 x y x 2 + y 2 2

∂ P ∂ y = ∂ x x 2 + y 2 ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 2

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ - 2 x y x 2 + y 2 2 - - 2 x y x 2 + y 2 2 d A

∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ 0 d A

Como nosso campo é conservativo, não importa qual é a nossa região de integração, a integral de 0 é 0 , logo

∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 = 0

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