Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:
(Sugestão: Use )
Passo 1
O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.
O teorema de Green nos diz que:
E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:
Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:
Os campos mais simples que satisfazem essa condição costumam ser:
Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porquê!
Passo 2
O enunciado já diz que é a fronteira da região que chamamos de , ou seja, .
Então o que vamos calcular é:
Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente, que calculamos fazendo a derivada da nossa parametrização em função de t, dada no enunciado :
E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.
Passo 3
Então, com os campos mais simples teríamos:
O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com , mas eu acredito que vai dar algo tão complicado quanto. Vamos torcer pra o campo sugerido dê algo mais tranquilo...
Vamos calcular então a nossa integral:
O que não é nada absolutamente trivial, mas é mais tranquilo que o que tínhamos tentado com . É só lembrar que que , que vamos ter:
Integrando isso daí, vamos ficar com: