Considere as seguintes afirmações:

  1. Se F = x , y e C e dada por r t = 4 s i n   t   , 4 c o s   t   com 0 ≤ t ≤ π 2 , então ∮ C F d r = 0
  2. Seja   f : R 2 → R     de classe   C 2 tal que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 . Se C é uma curva de classe C 1 , fechada e contida no plano, então ∫ C ∂ f ∂ x d y - ∂ f ∂ y d x = 0
  3. Sejam F um campo de vetores contínuos e C 1   , C 2 , e C 3 curvas de classe C 1 no plano com os mesmos pontos iniciais e finais. Se ∫ C 1 F ∙ d r 1 = ∫ C 2 F ∙ d r 2 então ∫ C 1 F ∙ d r 1 = ∫ C 3 F ∙ d r 3
  4. Se F é um campo conservativo num aberto R de R 2 , e C uma curva de classe C 1 contida em R , então a ∫ C F ∙ d r independe do caminho. i.e. só depende dos pontos finais e iniciais.

Passo 1

Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Para resolver essa questão precisamos analisar cada alternativa uma a uma. Basicamente, vamos aplicar o teorema de Green em cada alternativa e verificar sua veracidade, beleza?

Então vamos lá.

Passo 2

A primeira alternativa afirma que:

Se F = x , y e C e dada por r t = 4 s i n t   , 4   c o s   t   com 0 ≤ t ≤ π 2 , então ∮ C F d r = 0

Belezinha, aqui vamos utilizar o teorema de Green que afirma a seguinte igualdade:

∮ F ∙ d r = ∯ ∇ x F   ∙ k   d A

Logo, precisamos calcular o rotacional do campo, que é calculado através do determinante da seguinte matriz:

∇ x F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y 0 x y 0

Como temos dois elementos nulos, vamos utilizar a regra de Laplace que gera o seguinte vetor rotacional:

∇ x F = ∂ y ∂ x k -   ∂ x ∂ y k

=   ( 0,0 , 0 )

Logo temos que:

∮ F ∙ d r = ∯ ( 0,0 , 0 ) ∙ ( 0,0 , 1 )   d A = 0

Logo a alternativa 1 é verdadeira.

Passo 3

Já a segunda alternativa:

Seja   f : R 2 → R     de classe   C 2 tal que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 . Se C é uma curva de classe C 1 , fechada e contida no plano, então ∫ C ∂ f ∂ x d y - ∂ f ∂ y d x = 0

Nessa aqui temos que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .

Utilizando essa informação e lembrando que existe a seguinte igualdade:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = ∇ ∙ ∇ f = 0

Logo:

∇ ∙ ∇ f = 0

Implicando em que ∇ f = c o n s t a n t e . Sendo assim, f é uma função potencial que gera um campo constante. Portanto, independe do caminho.

Qualquer caminho que escolher sob a curva C a integral é 0 .

Passo 4

Na terceira alternativa:

Sejam F um campo de vetores contínuos e C 1   , C 2 , e C 3 curvas de classe C 1 no plano com os mesmos pontos iniciais e finais. Se ∫ C 1 F ∙ d r 1 = ∫ C 2 F ∙ d r 2 então ∫ C 1 F ∙ d r 1 = ∫ C 3 F ∙ d r 3

Primeiramente vamos estabelecer as igualdades:

  ∫ P 1 P 2 F ∙ d r 1 = ∫ P 1 P 2 F ∙ d r 2

Fazendo a igualdade ficar igual a 0 , temos que:

∫ P 1 P 2 F ∙ d r 1 - ∫ P 1 P 2 F ∙ d r 2 = 0

Utilizando a seguinte propriedade das integrais:

∫ P 1 P 2 F ∙ d r 2 = - ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2

Portanto temos que:

∫ P 1 P 2 F ∙ d r 1 + ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2 = 0

Subtraindo o seguinte valor da integral 2 ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2 temos que:

∫ P 1 P 2 F ∙ d r 1 - ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2 = - 2 ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2

Finalmente temos que:

∫ P 1 P 2 F ∙ d r 1 - ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2 = ∮ C 1 ∪   C 2 F ∙ d r = - 2 ∫ P 2 P 1 F ∙ d r 2

Como integral de linha sob a curva fechada proveniente do caminho C 1 ∪   C 2 é diferente de 0 , temos que o campo não é conservativo.

Isso implica que:

∫ C 1 F ∙ d r 1 = ∫ C 3 F ∙ d r 3

Não é necessariamente uma verdade.

Passo 5

Na última alternativa temos que:

Se F é um campo conservativo num intervalo aberto R de R 2 , e C uma curva de classe C 1 contida em R , então a ∫ C F ∙ d r independe do caminho. i.e. só depende dos pontos finais e iniciais.

Opa, essa aqui é bem simples porque a questão já enuncia que o campo é conservativo.

Sendo assim, quando um campo é conservativo, qualquer integral de linha independe do caminho. Depende apenas dos pontos iniciais e finais.

Isso ocorre porque temos as seguintes condições:

  1. A curva é de classe C 1 .
  2. O campo F é conservativo.

Como F é conservativo temos que:

F = - ∇ g

Logo temos que:

∮ C F ∙ d r = ∮ C - ∇ g ∙ d r = g p 1 - g ( p 2 )

Resposta

As alternativas verdadeiras são I , I I , I V .

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