USP-SEM CAMPUS- Cálculo 3 – prova 2 – 2022.1 – Questão 2
Considere as seguintes afirmações:
- Se e e dada por com , então
- Seja de classe tal que . Se é uma curva de classe , fechada e contida no plano, então
- Sejam um campo de vetores contínuos e e curvas de classe no plano com os mesmos pontos iniciais e finais. Se então
- Se é um campo conservativo num aberto de , e uma curva de classe contida em , então a independe do caminho. i.e. só depende dos pontos finais e iniciais.
Passo 1
Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?
Para resolver essa questão precisamos analisar cada alternativa uma a uma. Basicamente, vamos aplicar o teorema de Green em cada alternativa e verificar sua veracidade, beleza?
Então vamos lá.
Passo 2
A primeira alternativa afirma que:
Se e e dada por com , então
Belezinha, aqui vamos utilizar o teorema de Green que afirma a seguinte igualdade:
Logo, precisamos calcular o rotacional do campo, que é calculado através do determinante da seguinte matriz:
Como temos dois elementos nulos, vamos utilizar a regra de Laplace que gera o seguinte vetor rotacional:
Logo temos que:
Logo a alternativa é verdadeira.
Passo 3
Já a segunda alternativa:
Seja de classe tal que . Se é uma curva de classe , fechada e contida no plano, então
Nessa aqui temos que .
Utilizando essa informação e lembrando que existe a seguinte igualdade:
Logo:
Implicando em que . Sendo assim, é uma função potencial que gera um campo constante. Portanto, independe do caminho.
Qualquer caminho que escolher sob a curva a integral é .
Passo 4
Na terceira alternativa:
Sejam um campo de vetores contínuos e e curvas de classe no plano com os mesmos pontos iniciais e finais. Se então
Primeiramente vamos estabelecer as igualdades:
Fazendo a igualdade ficar igual a , temos que:
Utilizando a seguinte propriedade das integrais:
Portanto temos que:
Subtraindo o seguinte valor da integral temos que:
Finalmente temos que:
Como integral de linha sob a curva fechada proveniente do caminho é diferente de , temos que o campo não é conservativo.
Isso implica que:
Não é necessariamente uma verdade.
Passo 5
Na última alternativa temos que:
Se é um campo conservativo num intervalo aberto de , e uma curva de classe contida em , então a independe do caminho. i.e. só depende dos pontos finais e iniciais.
Opa, essa aqui é bem simples porque a questão já enuncia que o campo é conservativo.
Sendo assim, quando um campo é conservativo, qualquer integral de linha independe do caminho. Depende apenas dos pontos iniciais e finais.
Isso ocorre porque temos as seguintes condições:
- A curva é de classe .
- O campo é conservativo.
Como é conservativo temos que:
Logo temos que:
Resposta
As alternativas verdadeiras são .