Calcule a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , sendo o bordo da região definida pela interseção das seguinte regiões , , e . Além disso, assuma que é orientada no sentido horário.
Passo 1
Então, galerinha, aqui nós temos uma integral de linha para ser resolvida. Porém se fossemos parametrizar essa curva, teríamos que separar em 4 curvas e parametrizar individualmente. E isso iria gerar muito trabalho. Além disso, tem aquele termo que pode gerar coisas nem tão simples de integrar.
Por isso vamos resolver essa questão aplicando o teorema de Green, pois ele vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, mais simples de ser resolvida. O teorema nos diz:
Mas devemos lembrar que a curva deve ser orientada positivamente, que não é o que acontece no enunciado, já que temos no sentido horário. Assim, nosso teorema ficará:
Onde, pelo enunciando, temos que
Separando em termos de e , temos
Então agora, é achar essas derivadas parciais e resolver essa integral dupla. Lembrando que os limites de integração serão dados pela região .
Passo 2
A gente já sabe quem é e . Então agora vamos agora calcular :
Passo 3
Aplicando o teorema de Green, temos:
Passo 4
Agora temos que achar nossos limites de integração. Porém parece complicado descrever a região em termos de e . Deste modo, vamos fazer uma mudança de variáveis.
A região é definida pela interseção das seguintes regiões:
Repara que temos um padrão! Todas são parábolas que podemos representar dessa forma
Esse padrão nos sugere qual mudança de variável irá nos ajudar na resolução. Deste movo vamos chamar:
Passo 5
Agora temos que encontrar os intervalos de integração em e . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:
Ou seja, e .
Passo 6
Galerinha, lembrando que sempre que fizermos uma mudança de variável, precisaremos calcular o Jacobiano!
Neste, é vamos achar o Jacobiano da transformação inversa para facilitar nosso cálculo e depois inverter o resultado. Ele é dado por:
Invertendo o resultado, temos
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:
Passo 8
Integrando em relação a :
Passo 9
Agora em relação a :