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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Exercício 711234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697072737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 4 – Questão 3

(Cap.16.4 - Exercício 3) Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y d x + x 2 y 3 d y

C é o triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 1,2

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta, primeiro devemos calcular nossa integral de linha diretamente, ou seja, como aprendemos inicialmente fazendo a parametrização e depois calculando a integral ∫ a b F r t ⋅ r ' t d t . Em seguida devemos utilizar o Teorema de Green visto na seção 4 do livro.

Passo 2

(a) Como C é um triângulo, vamos ter que dividir C em três partes de forma que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 , onde cada parte é uma reta que liga um ponto ao outro, de forma que

∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

Onde F = x y , x 2 y 3

Colocando os três pontos no plano para ficar claro de quais retas precisamos

Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de 0,0 a 1,0

C 1 : r 1 t = t , 0 , 0 ≤ t ≤ 1

r 1 ' t = 1,0

E a integral é:

∫ C 1 F ⋅ d r 1 = ∫ 0 1 t ⋅ 0 , t 2 0 3 ⋅ 1,0 d t

∫ 0 1 0 d t = 0

Outra reta sai de 1,0 e vai até 1,2 que tem parametrização:

C 2 : r 2 t = 1,2 t , 0 ≤ t ≤ 1

r 2 ' t = 0,2

E a integral é:

∫ C 2 F ⋅ d r 2 = ∫ 0 1 2 t , 1 2 2 t 3 ⋅ 0,2 d t

∫ 0 1 2 4 t 3 d t = 16 t 4 4 0 1 = 16 4 = 4

Por fim temos a reta que vai de 1,2 até a origem, fechando a curva C

C 3 : r 3 t = 1 − t , 2 − 2 t , 0 ≤ t ≤ 1

r 3 t = 1 − t , 2 1 − t

r 3 ' t = − 1 , − 2

∫ C 3 F ⋅ d r 3 = ∫ 0 1 1 − t 2 1 − t , 1 − t 2 2 1 − t 3 ⋅ − 1 , − 2 d t

∫ 0 1 − 2 1 − t 2 − 2 4 1 − t 5 d t = 2 3 1 − t 3 + 16 6 1 − t 6 0 1

− 2 3 − 8 3 = − 10 3

Então temos que:

∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

0 + 4 − 10 3 = 2 3

Passo 3

  1. Pelo Teorema de Green temos que:

∮ C x y d x + x 2 y 3 d y = ∬ D ∂ ∂ x x 2 y 3 − ∂ ∂ y x y d A

∬ D 2 x y 3 − x d A

Analisando D podemos usar D = { x , y | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 x }

∫ 0 1 ∫ 0 2 x 2 x y 3 − x d y d x = ∫ 0 1 x y 4 2 − x y 0 2 x d x

∫ 0 1 8 x 5 − 2 x 2 d x = 8 x 6 6 − 2 x 3 3 0 1 = 8 6 − 2 3

4 3 − 2 3 = 2 3

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

Resolução nos passos acima

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