USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 6a
Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:
a) é limitado superiormente pelo paraboloide , inferiormente pelo plano e sua projeção no plano é a região limitada por e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano e sua projeção no plano , que é a região limitada por e . Plotando isso em um gráfico 3D, seria mais ou menos isso aqui:
Parece meio confuso, né? Mas a gente tem que prestar atenção em como as variáveis , e estão variando, ou seja, em como elas são limitadas nessa região. Com isso em mente, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:
Vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos diz que nossa região é limitada por e (que é o paraboloide ali no gráfico). Então, temos:
Mas e como tá variando e ? Repare que ele já nos deu uma projeção no plano . Ele disse que essa projeção é limitada por e . No plano fica assim:
Observe que as curvas se encontram em e . Então, a gente já sabe que tá variando no intervalo:
E vai da curva de baixo até a curva de cima. Então, ele vai de (em azul) até (em laranja). Ou seja:
Passo 3
Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:
Integrando primeiro em relação a , temos:
Integrando agora em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Por fim, integrando em relação , vamos obter:
Aplicando os limites em e somando as frações:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉