Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3 da região delimitada pelas

parábolas y = x^2 e y = 2 - x^2

Passo 1

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas parábolas ( y   =   x 2 )

e ( y   =   2   –   x 2 ) em torno da reta ( y   =   3 ) , podemos usar o método do disco ou o método do anel. Vou usar o método do disco neste caso.

A primeira etapa é encontrar os pontos de interseção das duas parábolas:

( y   =   x 2 ) e   ( y   =   2   -   x 2 ) :

( x 2 =   2   -   x 2 )

( 2 x 2 =   2 )

( x 2 =   1 )

( x   =   ± 1 )

Então, os pontos de interseção são - 1 ,   1   e   1 ,   1

Passo 2

Agora, vamos calcular o volume usando o método do disco. Considerando um disco infinitesimal de raio ( r ) no eixo ( x ) entre as coordenadas ( x )   e   ( x   +   d x ) , sua área é ( A   = π   r 2 ) . O raio r é a distância entre a reta y   =   3 e a curva superior ( y   =   2   –   x 2 ) :

( r   =   3   -   2   -   x 2 =   x 2 +   1 )

O volume do sólido é dado por:

[ V   =   ∫ - 1 1 A d x   =   ∫ - 1 1 π x 2 +   1 2 d x

Vamos calcular a integral:

[ V   =   π ∫ - 1 1 x 4 +   2 x 2 +   1   d x

Integrando termo a termo:

V = π 1 5 x 5 + 2 3 x 3 + x - 1 1

Avaliando nos limites de integração:

V = 1 5 + 2 3 + 1 - - 1 5 - 2 3 - 1

Passo 3

Simplificando:

V = π 1 5 + 2 3 + 1 + 1 5 + 2 3 + 1

V = π 6 5 + 4 3 + 2

V = π 6 + 20 + 30 15

V = 56 15 π

Portanto, o volume do sólido obtido é 56 15 π unidades cúbicas.

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido é 56 15 π unidades cúbicas.

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