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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 3b

Uma piscina tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte,

sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m . Calcule o volume da piscina.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos um volume

Nosso objetivo é determinar o volume da piscina tem formato circular de raio 3 m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul é de 1 m e no extremo norte é de 2 m .

Passo 2

Bem, bem se a piscina tem formato circular de raio 3 , então:

x 2 + y 2 = 9

Logo temos que 3 ≥ x ≥ - 3 e

- 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2

A parte difícil é que a profundidade varia linearmente entre 1 e 2 de x = - 3   a   x = 3

Dessa forma, podemos dizer que a profundidade é dada pela equação

z = x / 6 + 3 / 2

Dessa forma, nosso volume é dado por

V = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 x / 6 + 3 / 2 d z d y d x

integrando

∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x / 6   +   3 / 2 d y d x

= ∫ - 3 3 ( x / 3   +   3 ) 9 - x 2 d x

=   - 1 / 9 * ( 9 - x 2 ) 3 / 2   +   3 / 2   ( x   9   -   x 2   +   9   s i n - 1 ( x / 3 ) ) | x = 3 x = - 3

= 27 π 4 + 27 π 4

= 27 π 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d