Calcule a integral

Onde é o conjunto

Obrigado por vir.

Temos então as equações:

E somente com essa equação podemos fazer a mágica. Como? Que por ela vamos achar os nossos limites de integração. Assim, como temos somente duas equações podemos fazer diversas ordens de integração, mas nelas devemos ter a variável por últimos, por que? Porque está definido como . Assim podemos fazer ou , como preferir, eu vou fazer , mas é porque eu quero, se fizer da outra forma vai chegar no mesmo resultado, tente veja!

Assim, de:

Isolando :

Assim:

Uma vez isolado , agora vamso isolar e achar os limites de (como já achamos os valores de integração de , vamos tomar )

Assim:

E uma vez definidos e , vamos definir (tomando )

Logo:

Mas se lembra da segunda equação que era , assim:

E definimos nossos três limites de integração. Resumindo:

E agora sim podemos fazer nossa integral

Sendo ela:

E agora vamos calcular esse monstrinho.

Integrando em :

Que nos resulta então em:

E como vamos resolver essa integral mostrinha.

Integrais desse tipo costumam ser resolvidas por uma substituição trigonométrica do tipo:

Nós temos algo do tipo , então qual seria melhor? Seria a primeira com seno e cosseno, certo? Porque podemos fazer e então . Bom, então temos:

E da derivada então:

MAS, CALMA, JOVEM MANCEBO! Atente-se, quando nós fazemos alguma substituição, qualquer que seja, nós temos que ver como que os limites de integração estão nessa substituição, assim:

Assim a nossa integral fica:

Como é constante para :

Integrando em :

Sabendo que a soma das integrais é integral da soma, podemos fazer:

E podemos então fazer as integrais separadamente, logo:

Para a primeira :

Integrando em , temos:

Para a segunda :

Integrando em :

Então agora que já temos o resultado de ambas podemos ver que:

E aqui acabamos a nossa questão, meu chapa, a resposta é . Resumindo então:

Onde é o conjunto:

Nos dá:

Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima.