Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

d) , , em torno do eixo .

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pela curva e as retas , ; em torno do eixo .

Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em verde, que é o eixo . E por isso, as funções estão definidas em função da variável .

Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo () e o raio interno (). Assim, temos:

No nosso caso, e . Repare que a região em amarelo vai de até , então será nosso intervalo de integração. Assim, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!