Determine o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelo plano y = 1 - x e pela superfície z = cos(πx / 2) , para 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é calcular o volume do sólido delimitado pelos planos coordenados, pelo plano y   =   1   −   x e pela superfície z   =   c o s ( π x / 2 ) , para 0   ≤   x   ≤   1

Passo 2

Vamos começar anotando nosso domínio. Temos que o sólido é delimitado pelos pelos planos coordenados. Logo, podemos concluir que

0 ≤ x

0 ≤ y

0 ≤ z

Agora, vamos analisar a projeção no plano x y .

Temos que

y   =   1   −   x

Logo, podemos concluir que

0 ≤ y ≤ 1   −   x

E por último, temos que

z   =   c o s ( π x / 2 )

Portanto

0 ≤ z ≤   c o s ( π x / 2 )

Passo 3

Dessa forma, nossa integral fica:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 c o s ( π x / 2 ) d z d y d x ,

Integrando, temos:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x c o s ( π x / 2 ) d y d x

Integrando em y

= ∫ 0 1 ( 1 - x ) c o s ( π x / 2 ) d x

Por fim, usando integral por partes, temos que

= 2 π s i n ( π x / 2 )   -   ( 4   c o s ( ( π   x ) / 2 )   +   2   π   x   s i n ( ( π   x ) / 2 ) ) π 2 | x = 1 x = 0

Aplicando os limites de integração,

= 2 π   -     2   π   π 2 + ( 4 π 2 )

= 4 π 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 4 π 2

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