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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 28b

Calcule a massa da região acima do cone z = x 2 + y 2 ,   dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 a z ,   a > 0 com δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Olá meu caro colega, se você notar a região é parecida com a da alternativa anterior, o que iremos mudar agora é que precisamos calcular a massa e não o volume. A massa é dada por

∫ ∫ ∫ D x 2 + y 2 d x d y d z

A parametrização que iremos utilizar, para nos ajudar a não passar sufoco nas integrais.

x = �� cos ⁡ φ cos ⁡ θ y = ρ cos ⁡ φ sin ⁡ θ z = ρ sin ⁡ φ

0 ≤ θ ≤ 2 π π 4 ≤ φ ≤ π 2 0 ≤ ρ ≤ 2 a sin ⁡ φ

∂ x , y , z ∂ ( r , θ , φ = r 2 ∙ cos ⁡ φ

r 2 ≤ 2 a r sin ⁡ φ

r r - 2 a sin ⁡ φ ≤ 0   ↔ 0 ≤ r ≤ 2 a sin ⁡ φ

Passo 2

Nossa integral então será

m = ∫ ∫ ∫ R δ x , y , z d x d y d z

= ∫ ∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y d z

= ∫ ∫ ∫ r 2 cos 2 ⁡ φ ∙ r 2 cos ⁡ φ d r d θ d φ

= ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 a sin ⁡ φ r 4 cos 3 ⁡ φ d r d φ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 1 5 2 a sin ⁡ φ 5 cos 3 ⁡ φ d φ d θ

= 32 5 a 5 ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 sin 5 ⁡ φ cos 3 ⁡ φ d φ d θ

= 32 5 a 5 ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 sin 5 ⁡ φ 1 - sin 2 ⁡ φ ∙ cos ⁡ φ d φ d θ

Realizando uma substituição,

u = sin ⁡ φ

d u = cos ⁡ φ ∙ d φ

d φ = d u cos ⁡ φ

φ ​ π 2 π 2 = u   ​ 2 2 1

= 32 5 a 5 ∫ 0 2 π ∫ 2 2 1 u 5 1 - u 2 cos ⁡ φ ∙ d u cos ⁡ φ

= 32 5 a 5 ∫ 0 2 π ∫ 2 2 1 u 6 - u 7 d u d θ

= 32 5 a 5 ∫ 0 2 π 1 6 ( 1 6 - 1 2 6 ) - 1 8 1 8 - 1 2 8 d θ

= 2 π ∙ 32 5 a 5 1 6 ∙ 8 - 1 8 - 1 8 ∙ 16 - 1 16

= 2 π ∙ 32 5 a 5 1 6 ∙ 7 8 - 1 8 ∙ 15 16

= 2 π ∙ 32 a 5 5 ∙ 11 64 ∙ 6 = 11 ∙ π a 5 30

Resposta

11 ∙ π a 5 30

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