UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Décima lista – Questão 4
Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo quadrado
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?
O problema nos deu algumas equações
E o retângulo
E pediu para descobrirmos o volume limitado por elas! Vom, o volume de algum sólido pode ser dado por uma integral tripla:
Onde é o diferencial de volume. No nosso caso a ordem importa! Precisamos que seja integrado antes, pois é uma função de e ! Então essa integração precisa vir antes! Então podemos ter assim
Você pode tentar outra ordem (sempre fazendo antes) e verificar que temos o mesmo resultado!
E os limites de integração? Olhando as equações dá pra ver que os limites ficam assim
Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!
Mas relaxa, vou fazer junto com você!
Passo 2
Agora vamos montar a integral! Novo volume é
Os limites de integração
E o diferencial de volume
Agora vamos juntar
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora é #partiu resolver, primeiro em :
Beleza? Agora vamos integrar em :
Vamos simplificar e ficar com uma integral simples em :
E por fim integrar em
Pronto! Essa é nossa resposta!
Beleza? Espero ter ajudado!