Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x 2 + y e os planos x = 0 , y = 0 , x = 1 y = 1 z = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos um volume

Nosso objetivo é determinar o volume do sólido limitado pela superfície z = x x 2 + y e os planos x = 0 , y = 0 , x = 1 y = 1   z = 0

Passo 2

Vamos montar nossa integral

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 x x 2 + y d z d x d y

resolvendo temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 x x 2 + y d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x x 2 + y   d x d y

fazendo x 2 = u ⇒ 2 x d x   =   d u , Logo

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 / 2 u + y   d u d y

= 1 / 2 ∫ 0 1 2 / 3 ( u + y ) 3 / 2   | u = 1 u = 0 d u d y

= 1 / 3 ∫ 0 1 ( 1 + y ) 3 / 2 + ( y ) 3 / 2 d y

= 1 / 3 ( 2 / 5 ( ( 1 + y ) 5 / 2 + y 5 / 2 ) ) | y = 1 y = 0

= 2 / 15 * ( 2 5 / 2 - 1 )

= 4 / 15   *   ( 2 2 - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d