UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFMG - Lista 1 - Integrais Duplas e Triplas, Questão 16
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado pede para calcularmos o volume delimitado pelas superfícies
e
para isso vamos ter que calcular a seguinte integração
em que delimita a nossa região! O enunciado pede para utilizarmos coordenadas cilíndricas, seria mais fácil usar esféricas, mas ele que manda! Vamos tentar visualizar a região e encontrar os limites de integração!
Passo 2
A região é dada por
em que o plano em vermelho indica , com . E, superiormente temos a esfera . Vamos usar as coordenadas cilíndricas da forma
de forma que nossas superfícies possam ser escritas como e . O elemento de volume nestas coordenadas é dado por . Vamos usar tudo isso, para escrever a nossa integral! Saca só!
Passo 3
A integral de volume tomará então o formato
note que estou integrando primeiro na coordenada desde o plano até a esfera, e também que devido a simetria do problema, temos que o ângulo polar está dentro do intervalo a . Mas, ainda precisamos determinar o limite de integração para . Como a origem pertence a nossa região, temos que o raio inicial é , o raio final pode ser obtido fazendo a interseção das duas superfícies
que resulta na seguinte equação de segundo grau
ou de uma maneira mais acolhedora
usando Bhaskara, obtemos as raízes
ali temos um probleminha, note que se , temos uma raiz imaginária, mas como , então a diferença é sempre negativa, de forma que podemos escrever as raízes como
pela definição da coordenada radial em coordenadas cilíndricas vamos usar a raíz positiva, desta forma, a nossa integração se torna
Vamos começar as integrações agora! Bora lá!
Passo 4
Integrando primeiramente em , temos que
Portanto, a integral de volume se torna
distribuindo o , temos que
Vamos continuar no próximo passo com as próximas integrações!
Passo 5
Para realizar as integrações em , vamos separar a nossa integral em duas, da seguinte maneira
a integral em do segundo termo pode ser resolvida usando a fórmula
portanto, obtemos o resultado
para a outra integral será conveniente realizar a substituição simples
e
de forma que a integral se torna
usando novamente a fórmula para a integração de polinômios, temos que
Por simplicidade, vamos voltar as variáveis originais da forma , para obter
Portanto, temos o resultado
Vamos juntar os resultados em nosso volume! Vem comigo!
Passo 6
A integral de volume se torna
A integral em é bastante direta, temos que
Ou seja, o nosso trabalho é simplificar o seguinte resultado
fazendo um MMC, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!