UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 2ª Lista, Questão 11
Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
Sólido interseção da esfera x² + y² + z² = 2com o paraboloide , interior a este.
Passo 1
Para encontrar a interseção do sólido limitado pela esfera e pelo paraboloide no interior do paraboloide, você precisa determinar os limites de integração apropriados e, em seguida, calcular o volume da região de interseção usando uma integral tripla. A equação da esfera é a mesma que a equação de uma esfera com raio centrada na origem.
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar o cálculo, pois a simetria da esfera e do paraboloide se encaixa bem com essas coordenadas.
As coordenadas esféricas são definidas da seguinte forma:
Nesse caso, representa o raio esférico, é o ângulo polar (varia de 0 a , e é o ângulo azimutal (varia de 0 a ).
Agora, vamos encontrar os limites de integração:
1. O limite inferior de é 0, pois estamos no interior do paraboloide.
2. O limite superior de é a interseção da esfera e do paraboloide. Substituindo a equação da esfera na equação do paraboloide:
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por e simplificando, obtemos:
Como estamos interessados no interior do paraboloide, varia de 0 a .
3. Para , não há restrições especiais, então varia de 0 a .
Agora podemos calcular o volume usando uma integral tripla:
onde \(D\) representa a região de interseção nos limites de integração que encontramos acima.
Portanto, o volume é dado por: