USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 6f
Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:
f) é limitado pelos cilindros e , onde .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado pelos cilindros e , onde . Plotando esses cilindros, temos:
Então, vamos observar o gráfico e verificar como e estão variando. Assim, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:
Vamos lá!
Passo 2
Repare que é limitado pelo cilindro horizontal, . Então, isolando ,temos:
Agora repare que a projeção do cilindro no plano é a circunferência de equação :
Pra facilitar nossos cálculos na hora de integrar (como vamos ver no próximo passo), vamos isolar na equação da circunferência, de modo que teremos . Além disso, como o raio da nossa circunferência é , temos variando de até . Assim, vamos ter:
Passo 3
Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:
Integrando primeiro em relação a , temos:
Integrando agora em relação a (repare que todo o integrando é constante em relação , por isso fica mais fácil integrar agora):
Aplicando os limites de integração em :
Por fim, integrando em relação , vamos obter:
Aplicando os limites em e somando as frações:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉