UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Prof° Edison Figueiredo - 1ª Lista, Questão 27
Calcule o volume do sólido limitado pelo plano , pelo cilindro e pelo cone .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que calcular o volume limitado pelo cone
acima do plano . E, delimitado lateralmente pelo cilindro
Este sólido é tal que
note que a lateral é o cilindro, a base é o plano e a tampa é o cone , o volume pode ser calculado usando
em que . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!
Passo 2
A função é dada pelo cone que serve como tampa, temos que
A região é delimitada pelo cilindro
Usando coordenadas polares da forma
e
temos que nossa integral se torna
em que usei o jacobiano das coordenadas polares como
temos que é uma circunferência de raio , mas deslocada da origem, então vamos tentar analisar os limites de integração a partir da equação do cilindro dada por
que nos dá um limite superior para o raio como
observando a figura temos também que varia de até , de forma que temos a nossa integral como
como os limites não são constantes (a região não é retangular), a ordem da integração importa, precisamos integrar primeiro em , pois seus limites dependem de , vamos fazer isso agora!
Passo 3
A integral em é tal que
portanto, o nosso volume se torna
para resolver este problema vamos expandir o cosseno como
temos então que a integral se torna
A primeira integral pode ser identificada como
Para a outra precisamos fazer uma substituição simples da forma
e
de forma que a integral se torna
essa integral é simplesmente
e, finalmente, nosso volume se torna
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!