USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 6b
Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:
b) é limitado superiormente pelo paraboloide , inferiormente pelo plano e sua projeção no plano é o triângulo de vértices , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano . Plotando esse paraboloide hiperbólico no espaço tridimensional, ficaria mais ou menos assim:
E aí, o enunciado nos diz que a projeção desse sólido no plano é um triângulo de vértices , e :
Então, a gente vai ter que prestar atenção em como as variáveis , e estão variando, ou seja, em como elas são limitadas nessa região (na projeção e no espaço tridimensional). Com isso em mente, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:
Vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos diz que nossa região é limitada por e (que é o paraboloide ali no gráfico). Então, temos:
Mas e como tá variando e ? Repare que ele já nos deu uma projeção no plano , que é o triângulo de vértices , e . Plotando esses pontos no plano , a gente obteve o triângulo do passo . Repare que naquele gráfico, o tá indo de até . Mas o tá variando de até a reta em vermelho:
E nós precisamos descobrir a equação dessa reta, para descobrir o limite superior de . Usando a equação da reta:
E os pontos e , construímos o sistema:
Resolvendo, obtemos e . Assim, nossa equação é:
E temos nossos intervalos:
Passo 3
Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:
Integrando primeiro em relação a , temos:
Integrando agora em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Por fim, integrando em relação , vamos obter:
Aplicando os limites em e somando as frações:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉