Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro z = 4 - y^2.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular o volume do solido dado utilizando integração tripla. Primeiro vamos dar uma olhada no solido.

Então somos limitados superiormente e lateralmente pelo cilindro, e inferiormente pelo plano z = 0 . Somo também limitados pelos planos x = 0 e x = 3 .

Para os limites de y , temos que o seu limite inferior é y = 0 e para o seu limite superior fazemos

4 - y 2 = 0

y = ± 2

Mas como queremos o primeiro octante

y = 2

Passo 2

Vamos agora montar nossa integral

V = ∫ 0 2 ∫ 0 3 ∫ 0 4 - y 2 d z d x d y

Agora calculando ela V = ∫ 0 2 ∫ 0 3 4 - y 2 d x d y

V = ∫ 0 2 ( 4 x - y 2 x ) | 0 3

V = ∫ 0 2 ( 12 - 3 y 2 ) d y

V = 12 y - 3 y 3 3 ​ 0 2

V = 24 - 8

V = 16

Resposta

V = 16

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