Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos x = 0 , y = 0 z = x e pelo cilindro z = 4 - y^2.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e vamos dar continuidade na resolução da nossa lista. Iremos resolver aqui uma integral tripla para calcularmos o volume de um solido dado. Antes de tudo o que irei fazer é descobrir qual o solido é que iremos trabalhar.

Então nosso solido está compreendido entre os planos azuis da imagem e limitado pelo cilindro vermelho.

Passo 2

Os limites da nossa integral são

0 = 4 - y 2

y = ± 2

E como queremos apenas o primeiro octante

0 ≤ y ≤ 2

Agora para x

z = x = 4 - y 2

x = 4

Então

0 ≤ x ≤ 4

E por ultimo

x ≤ z ≤ 4 - y 2

Agora montando e calculando nossa integral

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 ∫ x 4 - y 2 d z d x d y

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 4 - y 2 - x d x d y

V = ∫ 0 2 ( 4 x - y 2 x - x 2 2 ) | 0 4 d y

V = ∫ 0 2 16 - y 2 4 - 8 d y

V = 8 y - 4 y 3 3 | 0 2

V = 16 - 4 8 3

V ≅ 5.333

Resposta

V ≅ 5.333

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