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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.6b

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto

  1. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 5   e   x > 0 .
  2. A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x   e   x - 1 2 + y 2 ≤ 1 .
  3. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x .
  4. A = { x , y ∈ R 2 : x > 0 ,   y ≤ 1   e   1 / x   ≤ y ≤ 4 / x 2 } .

Passo 1

O conjunto A é definido por

A = { x , y ∈ R 2 : x > 0 ,   y ≤ 1   e   1 / x   ≤ y ≤ 4 / x 2 } .

Primeiro, encontraremos os pontos de interseção das curvas 1 / x     e   4 / x 2

1 x = 4 x 2

x = 4

Agora, para calcular o volume usando o método do disco, integramos ao longo do intervalo ( 1,4 ) pois os limites verticais do sólido estão entre y = 1 x e   y = 4 x 2

V = π ∫ 1 4 4 x 2 2 - 1 x 2 d x

Simplificando a expressão dentro da integral:

V = π ∫ 1 4 16 x 4 - 1 x 2 d x

Passo 2

Integrando termo a termo:

V   =   π - 16 3 x 3 + 1 x 1 4

V = π - 16 192 + 1 4 - - 16 3 + 1

V = π - 1 12 + 1 4 + 16 3

V = π 4 - 3 + 64 12

V = π 65 12

V ≈ 2.69788

Resposta

V ≈ 2.69788

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