Para cada uma das funções abaixo, seja R a região entre o gráfico das funções e o eixo x e S o sólido obtido pela rotação desta região em torno do eixo x . Calcule os volumes dos sólidos obtidos

g(x) = cos(x), x ∈ [0, π/2]

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa curva

g x = cos ⁡ x

E pediu o volume do sólido formado pela rotação dessa curva em torno do eixo x .

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

O volume de rotação em torno do eixo x é

V = π   ∫ a b g x 2 d x  

Onde g é a função que é rotacionada. E a , b são os limites de integração do sólido (intervalo dado).

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A curva é

g x = cos ⁡ x

Então aqui temos os limites

0 < x < π 2

Beleza?

Assim nossa integral é

π ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x 2 d x

Agora nossa missão é resolver a integral!

Passo 3

Calculando o volume temos

V = π ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x d x = π ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

= π x 2 + sin ⁡ 2 x 4 0 π / 2 = π π 2 2 + sin ⁡ 2 π 2 4 - 0 2 - sin ⁡ 0 4

= π π 4 = π 2 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

π 2 4

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