Determine o volume dos sólidos S, usando integração.

e) a região delimitada por dois cilindros circulares retos que se interceptam perpendicularmente.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

A forma de interceptação de dois cilindros nos dá uma imagem desse tipo:

E a interseção de ambos nos da o volume do tipo:

E veja que a imagem é simétrica, logo se achar o volume de um lado podemos multiplicar por 4 e acharemos o volume total.

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Fazendo um esboço, temos:

Esta é um quarto, conforme o que tínhamos dito no passo anterior, assim achando o volume desta parte e multiplicando por 4 poderemos achar o volume total da interseção dos cilindros!!

Passo 3

Sabemos que o volume é dado por:

V = ∫ a b A x d x

E A x = P Q 2 = r 2 - x 2

E pela figura x varia de –r até +r.

Passo 4

Assim:

V = 4 ∫ - r + r r 2 - x 2 d x

O 4 vem da multiplicação para o volume total, como dizemos antes.

V = 4 r 2 x - x 3 3 - r + r

V = 4 r 3 - r 3 3 - - r 3 - - r 3 3

V = 4 r 3 - r 3 3 + r 3 - r 3 3

V = 4 2 r 3 - 2 3 r 3

V = 8 r 3 - 1 3 r 3

V = 16 3 r 3

Resposta

V = 16 3 r 3

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