UFSC, Araranguá, Cálculo B, P3 - 2022.2, Questão 5
Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
temos que calcular o volume do sólido que é delimitado inferiormente por um cone e pela esfera . Que podem ser representados como
parecem definições um pouco estranhas, mas é que está tudo dado em coordenadas esféricas! para calcular o volume de um sólido em coordenadas esféricas, apenas precisamos resolver a seguinte integral tripla
Então toda a questão se resume em lembrar quem é e quais são os limites de integração! Bora lá!
Passo 2
Para coordenadas esféricas temos que o elemento infinitesimal é
mas quais são os limites de integração? Note que é o ângulo polar, e como é possível dar uma volta completa ao redor da esfera (pela plano ), temos que . A coordenada radial no entanto, ela vai da origem do sistema de coordenadas até a esfera dada por , portanto, temos que
por último, temos o ângulo , que é o ângulo azimutal, ele vem da vertical até o cone , portanto, o nosso volume é resultado da seguinte integração
Agora temos que integrar individualmente cada variável! Bora lá!
Passo 3
Como temos que a integração em resulta em uma função de , vamos resolver ela primeiro! Temos que
avaliando os limites de integração, temos que
Voltando para a integral do volume, temos que
Vamos resolver a integral em agora já que ela é um pouco mais complicada! Vem comigo
Passo 4
Temos que resolver a seguinte integral
note que temos um produto de seno e cosseno, portanto, é possível usar substituição simples, uma vez que escolhendo
temos que
e, a nossa integral toma a forma
como temos que é o mesmo que , temos que e também , portanto, resolvendo a integral, temos que
Avaliando os limites, temos que
Vamos voltar para a nossa integral original agora! Saca só!
Passo 5
Usando o resultado que acabamos de calcular, temos que
E o resultado desta última integral é bastante direto, temos que
E, portanto, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!