Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interseção dos paraboloides z = 1 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2 - 1 .

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e na imagem acima vemos o nosso querido solido que iremos calcular o volume. Para isso iremos utilizar da integração tripla. O nosso solido está limitado inferiormente e superiormente por dois paraboloides.

Passo 2

Para facilitar nossas queridas vidas, vamos então passar de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Para

z = 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin ⁡ θ

z = 1 - r 2

Já para

z = x 2 + y 2 - 1

z = r 2 - 1

Então

r 2 - 1 ≤ z ≤ 1 - r 2

O ângulo θ é

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pois damos uma volta completa aqui.

Agora falta saber que é r, igualando as duas paraboloides

1 - r 2 = r 2 - 1

2 r 2 = 2

r = ± 1

Mas como um raio não pode ser negativo,

0 ≤ r ≤ 1

Agora é montar nossa integral

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - 1 1 - r 2 r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 - r 2 - 1 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ - 1 1 - 2 r 3 + 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ( - 2 r 4 4 + r 2 ) | 0 1 d θ

∫ 0 2 π ( - 1 2 + 1 ) d θ  

∫ 0 2 π 1 2 d θ

V = π

Resposta

V = π

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